第27章 教案（2）（1/2）

以下是一个关于清华大学大二数学中数学建模相关内容的教案示例：

《清华大学大二数学：数学建模初步》教案

一、教学目标

1. 让学生了解数学建模的基本概念、重要意义和方法步骤。

2. 通过实际案例，引导学生学会将实际问题转化为数学模型。

3. 培养学生的数学应用意识和创新思维能力。

二、教学重难点

1. 重点：理解数学建模的方法步骤，掌握如何从实际问题中抽象出数学模型。

2. 难点：针对具体问题选择合适的数学方法建立有效模型，并对模型进行求解和分析。

三、教学方法

讲授法、案例分析法、小组讨论法

四、教学过程

（一）课程导入（5 分钟）

通过介绍一些现实生活中需要用数学方法解决的问题，如交通流量预测、资源分配等，引出数学建模的重要性，激发学生的学习兴趣。

（二）知识讲解（30 分钟）

1. 数学建模的定义（5 分钟）

- 讲解数学建模的概念：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

- 强调数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步。

2. 数学建模的重要意义（5 分钟）

- 介绍电子计算机的发展使得数学向各领域渗透，数学建模受到越来越多的重视。

- 举例说明数学建模在一般工程技术、高新技术领域以及新领域中的具体应用，如分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等。

3. 数学建模示例（20 分钟）

- 椅子能在不平的地面上放稳吗（10 分钟）

- 问题分析：引导学生思考如何将椅子能否放稳的问题转化为数学问题，指出关键是用数学语言表示椅子位置和四只脚着地的关系。

- 模型假设：四只腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

- 模型构成：利用正方形的对称性，用对角线与 x 轴的夹角表示椅子位置；定义两个距离函数 f(θ)和 g(θ)分别表示 a,c 两脚与地面距离之和以及 b,d 两脚与地面距离之和。

- 数学问题：已知 f(θ)和 g(θ)是连续函数，对任意θ，f(θ)g(θ)=0，且 g(0)=0，f(0)＞0，证明存在θ0，使 f(θ0)=g(θ0)=0。

- 模型求解：简单介绍证明方法，即将椅子旋转 90°，利用函数的连续性和基本性质得到结论。

- 商人们怎样安全过河（10 分钟）

- 问题描述：给出商人和随从过河的具体情境及规则。

- 问题分析：强调这是一个多步决策过程，决策是每一步船上的人员安排，需在安全前提下经有限步使全体人员过河。

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