第188章 长谈（2/2）

蒙特卡罗模拟因摩纳哥着名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。

数学家们称这种表述为“模式”，而当一种模式足够精确时，他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷：如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数，而却构成一些微妙的非随机模式，那么整个的模拟（及其预测结果）都可能是错的。

蒙特卡罗法优点：

1.方法的误差与问题的维数无关。

2.对于具有统计性质问题可以直接进行解决。

3.对于连续性的问题不必进行离散化处理

蒙特卡罗法缺点：

1.对于确定性问题需要转化成随机性问题。

2.误差是概率误差。

3.通常需要较多的计算步数N.

蒙特卡罗方法的缺点及其改进

我们知道，蒙特卡罗方法是非常好用来做积分的。如果要算一个函数f（x）在区间［a，b］内的积分，我们可通过计算机利用蒙特卡罗方法来计算出积分近似值。即先估计一个比f（x）在区间［a，b］内最大值还要大的c，（必须保证f（x）在区间［a，b］不小于0）然后不断地在二维矩形区域［a，b］x［0，c］内随机产生随机数对（e，f），判断f与f（e）的大小，并统计f《f（e）的数量n，当产生点的数量N足够大时，计算出n\/N*（b-a）*c，这就是函数f（x）在区间［a，b］内的积分值。

对蒙特卡罗方法的改进：如果要算一个函数f（x）在区间［a，b］内的积分，令s=0，我们可以在区间［a，b］内产生N个随机数e，赋值：s+=f（e）\/N（之所以这样做是为了防止溢出），当N足够大时，计算s*（b-a），这就是函数f（x）在区间［a，b］内的积分值。改进方法的优点：

1.维度降低，节省一半产生随机数的时间，

2.相对精度更高，由于蒙特卡罗方法矩形上界需要估计，因此带来了一定的不确定性，估计值取得过大，显着提升计算时间，估计值取得过小，就会出现计算错误。而改进方法不需要估计！

3.改进方法可以求解蒙特卡罗方法所不能计算的积分，求解范围更大，如果积分函数f（x）在区间［a，b］内是无界的，或者积分函数f（x）在区间［a，b］内有负值，蒙特卡罗方法就无法求解。

蒙特卡罗模拟基本原理及思想

当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。